第31章 跨年（四）



群里夏晓琳发完消息，赵雨萱又补了个“猫猫偷笑”的动图：“这个可以有，让他在群外唱到天荒地老。”

“别别别，”江晓璇赶紧打圆场，“周一还得让他帮忙搬水呢，真忘了拉他回来，他得闹一整天。”

雷毅发了个“赞同”的表情：“说得对，留着他还有用，明天记得拉回来，不过得让他写个保证书，不准再在群里发语音唱歌。”

叶晓月看着群里你一言我一语，笑着回复：“好了好了，大家都早点睡吧，期末考也快到了，得养足精神复习。”

“收到！班长晚安～”夏晓琳率先收尾。

“晚安晚安”

“大家晚安”，群里陆续响起晚安声，很快就安静了下来。

叶晓月本想早些睡，但奈何躺在床上翻了几圈就是睡不着，无奈，只好起来从书包里拿出数学题开始写起来。

她的目光落在最后一道压轴题上。

函数，求参数范围，看起来有点复杂。

她没怎么犹豫，笔尖抵着草稿纸，行云流水般地写下一行推导。

笔尖没有停顿，解题思路清晰得像一条笔直的线。

“但这是最小值？题目问的是 b/a 最大值？”

叶晓月笔尖顿了一下，重新审题。

“哦，f(x) ≤ 0 恒成立，意味着 b 必须小于等于 g(x) 的最小值，这样才能保证对所有 x 都成立。”

“所以 b 最大只能取到 g(x) 的最小值 1。那么 b/a 的最大值就是 1/1 = 1。”

“可选项里没有 1，有 e。”

她立刻意识到自己可能找错了方向，“b/a 最大值，也许需要利用 a 和 b 的关系，从 f(x) ≤ 0 恒成立这个条件中，构造出关于 b/a 的表达式，直接求其最值。”

她想了想，另起一行。

“由 f(x) = lnx/x - x + b ≤ 0 得 b ≤ x - lnx/x。但这里 a=1 是确定的，那么 b/a = b。难道最大值真是 1？但选项……”

她再次检查题目：“求 b/a 的最大值”。重新看第一步骤：f(1) = (1 - ln1)/1 - a = 1 - a = 0，确实得到 a=1。”。

思路卡了一下。

忽然，她意识到什么。

f(x) ≤ 0 恒成立，意味着 b ≤ x - lnx/x 对 ?x＞0 成立。

那么 b 必须小于等于 x - lnx/x 这个函数在 (0, +∞) 上的下确界（最小值）。

而 g(x) = x - lnx/x 的最小值，刚才已经算了，在 x=1 处取得，为 1。所以 b ≤ 1。

那么 b/a = b/1 = b ≤ 1。

最大值就是 1。

“可为什么选项是 C: e？难道我求的 g(x) 最小值错了？”

叶晓月重新计算 ，“没错。g(x) 在 x=1 确实最小。除非……定义域有限制？题目没给。”

“或者 f(x) ≤ 0 恒成立这个条件我理解错了？”

她皱眉，第一次在面对数学题时感到了些许困惑。

她不信邪，换了一种思路。

“那么 b 的最大值就是 min_{x＞0} (x - lnx/x)。这个最小值真的是 1 吗？”

她快速在草稿纸上画了 g(x) = x - lnx/x 的示意图。

“所以在中间某处应该有最小值。导数零点 x=1，代入得 g(1)=1。”

“那么答案应该是 1。可选项……”

她瞥了一眼卷子上印刷的选项：A. 1/2, B. 1, C. e, D. e2。

有